Dicas Úteis

Como subtrair e adicionar vetores

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Para adicionar vetores, você precisa encontrar a soma das coordenadas correspondentes desses vetores. Por exemplo, suponha que existam vetores no plano $ overline = (x_1, y_1) $ e $ overline= (x_2, y_2) $, então a soma pode ser encontrada pela fórmula: $$ overline + overline = (x_1 + x_2, y_1 + y_2) $$

Ao adicionar, a primeira coordenada do primeiro vetor é adicionada à primeira coordenada do segundo vetor, a segunda coordenada do primeiro vetor é adicionada à segunda coordenada do segundo vetor, e assim por diante, dependendo da dimensão dos vetores. Deve-se notar que os vetores só podem ser adicionados com a mesma dimensão.

Exemplos de Solução

Então, como adicionar vetores por coordenadas? Para o primeiro, adicionamos o primeiro, o segundo ao segundo:

Neste problema, os vetores são dados no espaço bidimensional e possuem apenas duas coordenadas. Se houver três coordenadas, você precisará aplicar a segunda fórmula para um problema tridimensional.

Se você não conseguir resolver seu problema, envie-o para nós. Nós forneceremos uma solução detalhada. Você será capaz de se familiarizar com o processo de cálculo e obter informações. Isso ajudará a obter crédito do professor em tempo hábil!

2. Subtração de vetores

Você pode não apenas adicionar vetores, mas também subtraí-los! Para fazer isso, combine as bases dos vetores subtraídos e subtraídos e conecte suas extremidades com as setas:

  • Vetor A = CB
  • Vetor B = CA

3. Vetores e números

Nós impomos uma grade de coordenadas em nossos vetores. Para o vetor A, podemos dizer que é direcionado para cima 5 células (valor positivo do eixo Y) e 3 células para a esquerda (valor negativo do eixo X): X = -3, Y = 5.

Para o vetor B: direção 4 células à esquerda e 7 células abaixo: X = -4, Y = -7.

Assim, para adicionar vetores ao longo dos eixos X e Y, suas coordenadas devem ser adicionadas. Para obter as coordenadas do vetor resultante ao longo dos eixos X e Y:

1. A soma de dois vetores, a regra do triângulo

Na lição anterior, definimos o conceito de vetor, os vetores que são chamados iguais, colineares, co-direcionados e anti-direcionados.

Agora vamos dar dois vetores - vetores (veja a Fig. 1).

Esta definição pode ser explicada da seguinte forma: deixe a carga ser dada, e a força atuou sobre ela primeiro - a carga foi movida do ponto B para o ponto C. Mas como resultado da ação dessas duas forças, a carga passou do ponto A para o ponto C.

Assim, obtivemos a definição da soma de dois vetores - a regra do triângulo.

Regra do triângulo

Para obter a soma de dois vetores, é necessário adiar o primeiro vetor de um ponto arbitrário, adiar o segundo vetor do final do vetor resultante e construir um vetor ligando o início do primeiro ao final do segundo - essa será a soma de dois vetores.

Você pode desenhar uma analogia com números. Introduzimos o conceito de número, aprendemos como adicionar números, determinamos as leis de adição e assim por diante. Agora, introduzimos o conceito de vetor, aprendemos a encontrar vetores iguais, adicionar vetores. Agora você precisa determinar as leis de adição.

2. As leis de adição de vetores, a regra do paralelogramo

Leis de adição de vetores

Para quaisquer vetores, as seguintes equivalências são válidas:

- lei de mudança.

Prova: primeiro nós adiamos o vetor do ponto.

Agora nós adiamos o vetor do ponto A primeiro.

Para provar a igualdade dos vetores obtidos, realizamos as duas construções a partir do mesmo ponto e assim obtemos a regra do paralelogramo (ver Fig. 2).

Adiamos o vetor do ponto A. Assim, provamos a translação

a lei da adição de vetores e obtém a regra do paralelogramo (ver Fig. 3).

Regra de Paralelogramo

Para obter a soma de dois vetores, você precisa adiar esses dois vetores de um ponto arbitrário e construir um paralelogramo sobre eles. A diagonal de um paralelogramo a partir do ponto inicial será a soma dos vetores dados.

- lei de combinação

De um ponto arbitrário A, nós adiamos o vetor (veja a Fig. 4).

No lado direito da expressão, primeiro obtemos a soma dos vetores (veja a Figura 5).

Assim, provamos a lei combinada de adição de vetores.

3. A regra de adição de vários vetores

Regra do polígono

Para adicionar vários vetores, você precisa adiar o primeiro vetor de um ponto arbitrário, adiar o segundo vetor do seu final, adiar o terceiro do final do segundo vetor, e assim por diante, quando todos os vetores são postergados, conectando o ponto inicial ao final do último vetor, obtemos a soma de vários vetores Fig. 6).

Por analogia com números reais, depois que aprendemos a adicioná-los, precisamos da operação oposta - subtração.

4. A regra de subtrair vetores

Que dois vetores sejam dados - vetores.

Definição

A diferença de dois vetores.

Se um vetor é dado.

Adiamos o vetor de um ponto arbitrário (veja a Fig. 7).

Considere a subtração de vetores em um paralelogramo. Do ponto A, nós adiamos os vetores (ver Fig. 8).

Assim, nesta lição deduzimos as regras de adição e subtração de vetores com a ajuda de um triângulo e um paralelogramo, formulamos as leis de adição de vetores.

Referências

  1. Alexandrov A.D. et al Geometria, Grau 8. - M .: Educação, 2006.
  2. Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V. Geometria, Grau 8. - M .: Educação, 2011.
  3. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. Geometria, Grau 8. - M .: VENTANA-GRAPH, 2009.

Links recomendados adicionais para recursos da Internet

Dever de casa

  1. Tarefa 1: dado um triângulo.

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4. Divisão de vetores em coordenadas

Considere o problema: a bola se move a uma velocidade de 10m / s em um plano inclinado com um comprimento de base X = 1m, localizado a 30 ° em relação ao horizonte. É necessário determinar o tempo durante o qual a bola se moverá do começo ao fim do avião.

Neste problema, a velocidade é um vetor V com um valor de 10m / se direção α=30° para a horizontal. Para determinar a velocidade de movimento da bola ao longo da base do plano inclinado, precisamos determinar o componente X do movimento da bola, que é um escalar (só importa, mas não direção) e é denotado Vx. Da mesma forma, o componente Y da velocidade é também um escalar e é denotado por Vy. Velocidade de vetor através de componentes: V = (VxVy)

Definir os componentes (VxVy) Lembre-trigonometria:

X-componente da velocidade da bola:

Vx = V · cosa = V · cos30 ° = 10,0 · 0,866 = 8,66 m / s

A velocidade horizontal da bola é de 8,66 m / s.

Porque o comprimento da base do plano inclinado é de 1 m, então essa distância a bola superará em:

1,00 (m) / 8,66 (m / s) = 0,12 s

Assim, a bola precisará de 0,12 s para se mover ao longo de um plano inclinado. Resposta: 0,12s

Interesse por determinar o componente Y da velocidade:

Vy = V · sina = 10 · 1/2 = 5,0 m / s

Como o tempo de "viagem" da bola é o mesmo para os dois componentes, podemos determinar a altura Y, com a qual a bola rolou:

5,0 (m / s) 0,12 (s) = 0,6 m

Distância da bola:

L = √ 1,00 2 + 0,60 2 = √ 1,36 = 1,16 m

Problema inverso

Considere o problema inverso ao anterior:

A bola movia-se ao longo de um plano inclinado até uma altura de 0,6 m, enquanto no plano horizontal o seu movimento era de 1,0 m. É necessário encontrar a distância percorrida pela bola e pelo ângulo.

A distância é calculada pelo teorema de Pitágoras:

L = √ 1,00 2 + 0,60 2 = √ 1,36 = 1,16 m

X = L cosα, Y = L sina

X / L = cosa, Y / L = sina

Agora você pode encontrar o ângulo:

α = arccos (X / L), α = arcsin (Y / L)

α = arccos (1 / 1.16) = 30 °

Um cálculo intermediário de L pode ser excluído:

Y = X

α = arctg (Y / X)

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Assista ao vídeo: SUBTRAÇÃO de Vetores - VETORES - Aula 5 - Prof. Marcelo Boaro (Julho 2020).

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Exemplo
Dois vetores $ overline = (1,3) $ e $ overline são dados = (2,4) $. Você precisa adicionar dois vetores.
Solução