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Poder expressões (expressões com poderes) e sua transformação

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O número de fontes usadas neste artigo é 10. Você encontrará uma lista delas na parte inferior da página.

Nota: Se você precisar resolver uma equação exponencial (em tal equação o desconhecido está no expoente), leia este artigo.

O que são expressões de poder?

O termo “expressões de poder-lei” praticamente não é encontrado nos livros escolares de matemática, mas muitas vezes aparece em coleções de problemas, especialmente aqueles projetados para se preparar para o exame e o exame, por exemplo. Depois de analisar as tarefas nas quais você precisa executar algumas ações com expressões de energia, fica claro que expressões de energia são entendidas como expressões que contêm graus em seus registros. Portanto, você mesmo pode tomar esta definição:

Power Expressions São expressões contendo graus.

Nós damos exemplos de expressão de energia. Além disso, vamos representá-los de acordo com como as visões sobre o grau de um número se desenvolvem de um grau com um indicador natural até um grau com um indicador real.

Como você sabe, a princípio há um conhecimento do poder de um número com um expoente natural, neste estágio as primeiras expressões de poder mais simples do tipo 3 2, 7 5 +1, (2 + 1) 5, (−0,1) 4 ,, 3 · a 2 −a + a 2, x 3−1, (a 2) 3, etc.

Em seguida, o grau zero do número é introduzido e expressões contendo graus com um expoente zero começam a ocorrer, por exemplo, 5 0, (a + 1) 0, 3 + 5 2 −3,2 0, ...

Um pouco mais tarde, o grau de um número com um expoente inteiro é estudado, o que leva ao aparecimento de expressões de potência com potências negativas inteiras, como segue: 3 −2 ,, a −2 + 2 · b −3 + c 2.

No ensino médio, eles voltam novamente aos graus. Um grau com um indicador racional é introduzido lá, o que implica o aparecimento das expressões de potência correspondentes: ,, etc. Finalmente, os graus com indicadores irracionais e expressões que os contêm são considerados:,.

O assunto não está limitado às expressões de poder listadas: então a variável penetra no expoente e, por exemplo, tais expressões 2 x 2 + 1 ou. E depois do conhecimento do logaritmo, expressões com graus e logaritmos começam a ocorrer, por exemplo, x2 · logx -5 · x logx.

Então, nós descobrimos a questão de quais são as expressões de poder. Além disso, aprenderemos a convertê-los.

Os principais tipos de transformações de expressões de poder

Com expressões de energia, você pode executar qualquer uma das transformações idênticas básicas de expressões. Por exemplo, você pode abrir colchetes, substituir expressões numéricas por seus valores, fornecer termos semelhantes, etc. Naturalmente, neste caso, é necessário observar o procedimento aceito para executar ações. Aqui estão alguns exemplos.

Calcule o valor da expressão de potência 2 3 · (4 2 −12).

De acordo com a ordem das ações, primeiro executamos as ações entre parênteses. Ali, primeiramente, substituímos o grau 4 2 pelo seu valor 16 (se necessário, vemos elevar a uma potência), e em segundo lugar, calculamos a diferença 16−12 = 4. Temos 2 3 · (4 2 −12) = 2 3 · (16−12) = 2 3 · 4.

Na expressão resultante, substitua a potência de 2 3 pelo seu valor de 8, após o qual calculamos o produto de 8 · 4 = 32. Este é o valor desejado.

Então, 2 3 · (4 2 −12) = 2 3 · (16−12) = 2 3 · 4 = 8 · 4 = 32.

Simplifique expressões com potências de 3 · a 4 · b −7 −1 + 2 · a 4 · b −7.

Obviamente, esta expressão contém termos semelhantes 3 · a 4 · b −7 e 2 · a 4 · b −7, e podemos dar-lhes: 3 · a 4 · b −7 −1 + 2 · a 4 · b - 7 = 5 · a 4 · b −7 −1.

3 · a 4 · b −7 −1 + 2 · a 4 · b −7 = 5 · a 4 · b −7 −1.

Apresente a expressão com poderes como um produto.

Para lidar com a tarefa permite a representação do número 9 na forma de grau 3 2 e o uso subsequente da fórmula de multiplicação abreviada, a diferença de quadrados:

.

Há também uma série de transformações idênticas inerentes a expressões de poder precisamente. Então vamos analisá-los.

Trabalhar com base e expoente

Há graus na base e / ou indicador dos quais não são apenas números ou variáveis, mas algumas expressões. Como exemplo, damos as entradas (2 + 0,3 · 7) 5−3,7 e (a · (a + 1) −a 2) 2 · (x + 1).

Ao trabalhar com expressões semelhantes, é possível substituir a expressão na base do grau e a expressão no expoente por uma expressão idêntica na ODZ de suas variáveis. Em outras palavras, de acordo com as regras que conhecemos, podemos transformar separadamente a base de um grau e separadamente - um indicador. É claro que, como resultado dessa transformação, obtemos uma expressão que é idêntica ao original.

Tais transformações nos permitem simplificar expressões com graus ou atingir outras metas que precisamos. Por exemplo, na expressão de potência acima mencionada (2 + 0,3 · 7) 5-3,7, você pode executar ações com números na base e indicador, o que lhe permite ir para o grau de 4.1 1.3. E depois de abrir os colchetes e derrubar termos semelhantes na base do grau (a · (a + 1) −a 2) 2 · (x + 1), obtemos uma expressão de lei de potência de uma forma mais simples a 2 · (x + 1).

Usando propriedades de grau

Uma das principais ferramentas para transformar expressões com graus é a igualdade, que reflete as propriedades dos graus. Lembre-se dos principais. Para quaisquer números positivos ae b e números reais arbitrários r e s, as seguintes propriedades de grau são verdadeiras:

  • a r · a s = a r + s,
  • r: a s = a r - s,
  • (a b) r = a r b b,
  • (a: b) r = a r: b r,
  • (a r) s = a r

Observe que, para expoentes naturais, inteiros e positivos, as restrições nos números a e b podem não ser tão rígidas. Por exemplo, para números naturais m e n, a igualdade a m · a n = a m + n é verdadeira não apenas para a positiva, mas também para negativa ae a = 0.

Na escola, a principal atenção na transformação de expressões de poder está concentrada precisamente na capacidade de escolher uma propriedade adequada e aplicá-la corretamente. Além disso, as bases de graus são geralmente positivas, o que torna possível usar as propriedades de graus sem restrições. O mesmo se aplica a transformações de expressões contendo variáveis ​​nas bases de graus - o intervalo de valores permitidos de variáveis ​​é geralmente tal que as bases tomam apenas valores positivos, o que permite que você use livremente as propriedades de graus. Em geral, você precisa se perguntar constantemente se é possível aplicar qualquer propriedade de graus neste caso, porque o uso impreciso de propriedades pode levar a um estreitamento de DLD e outros problemas. Detalhes e exemplos desses pontos são discutidos no artigo transformação de expressões usando as propriedades de graus. Aqui nos restringimos a alguns exemplos simples.

Imagine a expressão a 2.5 · (a 2) −3: a −5.5 como um grau com base a.

Primeiro, transformamos o segundo fator (a 2) -3 pela propriedade de elevar um poder a um poder: (a 2) −3 = a 2 · (−3) = a −6. A expressão inicial de energia, neste caso, assume a forma de 2,5 · a −6: a −5,5. Obviamente, resta usar as propriedades de multiplicação e divisão de graus com a mesma base, temos
a 2,5 a −6: a −5,5 =
a 2,5−6: a −5,5 = a −3,5: a −5,5 =
a −3,5 - (- 5,5) = a 2.

a 2,5 · (a 2) −3: a −5,5 = a 2.

As propriedades de energia ao converter expressões de energia são usadas da esquerda para a direita e da direita para a esquerda.

Encontre o valor de uma expressão de energia.

A igualdade (a · b) r = a r · b r, aplicada da direita para a esquerda, permite que nos movamos da expressão original para o produto da forma e mais adiante. E quando os graus são multiplicados com as mesmas bases, os indicadores somam:

Foi possível converter a expressão original e, de outro modo:

.

Dada uma expressão de potência a 1,5 −a 0,5 −6, introduza uma nova variável t = a 0,5.

O grau a 1.5 pode ser representado como 0.5 · 3 e depois, com base na propriedade do grau no grau (a r) s = a r · s, aplicado da direita para a esquerda, transformá-lo na forma (a 0.5) 3. Assim, a 1,5 −a 0,5 −6 = (a 0,5) 3 −a 0,5 −6. Agora é fácil introduzir uma nova variável t = a 0.5, obtemos t 3 −t - 6.

Quais são as expressões exponenciais?

No curso da escola, poucas pessoas usam a expressão "expressões de poder", mas esse termo é encontrado constantemente em coleções para se preparar para o exame. Na maioria dos casos, uma frase significa expressões que contêm graus em seus registros. Isso vamos refletir em nossa definição.

Expressão de poder É uma expressão que contém graus.

Aqui estão alguns exemplos de expressões de poder, começando com um grau com um indicador natural e terminando com um grau com um indicador real.

As expressões de potência mais simples podem ser consideradas os graus de um número com um indicador natural: 3 2, 7 5 + 1, (2 + 1) 5, (- 0, 1) 4, 2 2 3 3, 3 · a 2 - a + a 2, x 3 - 1, (a 2) 3. E também graus com um expoente zero: 5 0, (a + 1) 0, 3 + 5 2 - 3, 2 0. E graus com graus negativos inteiros: (0, 5) 2 + (0, 5) - 2 2.

É um pouco mais difícil trabalhar com um grau que tenha indicadores racionais e irracionais: 264 1 4 - 3 · 3 · 3 1 2, 2 3, 5 · 2 - 2 2 - 1, 5, 1 a 1 4 · a 1 2 - 2 · a - 1 6 · b 1 2, x π x 1 - π, 2 3 3 + 5.

A variável pode ser uma variável 3 x - 54 - 7 · 3 x - 58 ou o logaritmo x 2l l g x - 5 .

Com a questão de quais são as expressões do poder, descobrimos. Agora estaremos envolvidos em sua transformação.

Converter frações contendo graus

Expressões de energia podem conter frações com graus ou representar tais frações. Qualquer das transformações básicas de frações que são inerentes a frações de qualquer tipo são totalmente aplicáveis ​​a tais frações. Ou seja, as frações que contêm graus podem ser reduzidas, levar a um novo denominador, trabalhar separadamente com seu numerador e separadamente com o denominador, etc. Para ilustrar essas palavras, vamos considerar as soluções de vários exemplos.

Simplifique a expressão exponencial .

Essa expressão de poder é uma fração. Vamos trabalhar com seu numerador e denominador. No numerador, abrimos os colchetes e simplificamos a expressão obtida após isso, usando as propriedades dos poderes, e no denominador apresentamos termos semelhantes:

E mude o sinal do denominador colocando um menos na frente da fração:

.

A redução de frações contendo graus para um novo denominador é realizada similarmente à redução de frações racionais a um novo denominador. Ao mesmo tempo, um fator adicional também é encontrado, e o numerador e o denominador da fração são multiplicados por ele. Realizando esta ação, vale lembrar que a redução para um novo denominador pode levar a um estreitamento do DLD. Para evitar que isso aconteça, é necessário que o fator adicional não desapareça em nenhum valor das variáveis ​​das variáveis ​​ODZ para a expressão original.

Traga as frações para o novo denominador: a) para o denominador a, b) para o denominador.

a) Neste caso, é muito simples descobrir qual fator adicional ajuda a alcançar o resultado desejado. Este é o fator a 0.3, já que a 0.7 · a 0.3 = a 0.7 + 0.3 = a. Note que na região dos valores admissíveis da variável a (este é o conjunto de todos os números reais positivos) o grau a 0.3 não desaparece, portanto, temos o direito de multiplicar o numerador e denominador da fração dada por este fator adicional:

b) Um olhar mais atento ao denominador revela que

e multiplicando essa expressão, dá a soma dos cubos e, isto é, E este é o novo denominador para o qual precisamos trazer a fração inicial.

Então encontramos um fator adicional. Na faixa de valores permissíveis das variáveis ​​x e y, a expressão não desaparece, portanto, podemos multiplicar o numerador e o denominador da fração por ela:

a), b).

A redução de frações contendo graus também não é novidade: o numerador e o denominador são representados como um certo número de fatores, e os mesmos fatores do numerador e do denominador são reduzidos.

Cortar a fração: a) b).

a) Primeiro, o numerador e o denominador podem ser reduzidos pelo maior divisor comum (GCD) dos números 30 e 45, que é 15. Você também pode obviamente executar uma redução de x 0.5 +1 e. Aqui está o que temos:

b) Nesse caso, os mesmos fatores no numerador e no denominador não são imediatamente visíveis. Para obtê-los, você precisa realizar transformações preliminares. Neste caso, eles consistem em fatorar o denominador de acordo com a fórmula da diferença de quadrados:

a)

b)

Trazer frações para um novo denominador e reduzir as frações é usado principalmente para executar ações com frações. As ações são realizadas de acordo com regras conhecidas. Ao adicionar (subtrair) frações, elas são reduzidas a um denominador comum, após o qual os numeradores são adicionados (subtraídos) e o denominador permanece o mesmo. O resultado é uma fração cujo numerador é o produto dos numeradores e o denominador é o produto dos denominadores. Divisão por fração é multiplicação pela fração inversa a ela.

Siga os passos.

Primeiro, subtraímos as frações entre parênteses. Para fazer isso, nós os trazemos para um denominador comum, que é, depois do qual subtraímos os numeradores:

Agora multiplique as frações:

Obviamente, uma redução pelo grau de x 1/2 é possível, após o que temos.

Você também pode simplificar a expressão de energia no denominador, usando a fórmula a diferença de quadrados :.

Simplifique uma expressão de poder.

Obviamente, essa fração pode ser reduzida em (x 2,7 +1) 2, isso dá uma fração. É claro que algo mais precisa ser feito com os graus de x. Para fazer isso, transformamos a fração resultante em um produto. Isso nos dá a oportunidade de usar a propriedade de dividir graus com os mesmos fundamentos: E no final do processo, passamos do último trabalho para a fração.

.

E acrescentamos que, em muitos casos, é desejável transferir fatores com expoentes negativos do numerador para o denominador ou do denominador para o numerador, alterando o sinal do indicador. Tais transformações geralmente simplificam outras ações. Por exemplo, uma expressão de energia pode ser substituída por.

Converta expressões com raízes e graus

Muitas vezes, em expressões nas quais é necessário realizar algumas transformações, as raízes também estão presentes junto com poderes com expoentes fracionários. Para converter tal expressão para a forma desejada, na maioria dos casos é suficiente ir apenas para as raízes ou apenas para graus. Mas como trabalhar com graus é mais conveniente, eles geralmente mudam de raízes para graus. No entanto, é aconselhável realizar tal transição quando a ODZ das variáveis ​​para a expressão original permite substituir as raízes por graus sem a necessidade de acessar o módulo ou dividir a ODZ em vários intervalos (isto é discutido em detalhes no artigo a transição de raízes para graus e vice-versa).

Apresente a expressão como um grau.

O intervalo de valores permissíveis da variável x é determinado por duas inequações x≥0 e, que definem o conjunto [0, + ∞). Neste conjunto, temos o direito de ir das raízes para os graus: Resta apenas simplificar a expressão de poder resultante, voltando-se para as propriedades dos graus:

.

Converter graus com variáveis ​​em uma medida

Após o conhecimento de um grau com um indicador racional, um grau com um indicador irracional é introduzido, o que permite que se fale de um grau com um indicador real arbitrário. Nesta fase, a escola começa a estudar função exponencial, que é analiticamente determinado pelo grau na base do qual é o número, e no indicador é uma variável. Então, nos deparamos com poder expressões que contêm números na base do grau, e no expoente - expressões com variáveis ​​e, naturalmente, há uma necessidade de realizar transformações de tais expressões.

Deve-se dizer que a conversão de expressões do tipo especificado geralmente deve ser realizada ao resolver equações exponenciais e desigualdades exponenciaise essas conversões são bem simples. Na esmagadora maioria dos casos, baseiam-se nas propriedades de um diploma e visam principalmente a introdução de uma nova variável no futuro. A equação 5 2 · x + 1 −3 · 5 x · 7 x −14 · 7 2 · x - 1 = 0 nos permite demonstrá-las.

Primeiro, os graus nos quais a soma de uma determinada variável (ou expressão com variáveis) e números são encontrados são substituídos por produtos. Isso se refere ao primeiro e último termo da expressão do lado esquerdo:
5 2 · x · 5 1 −3 · 5 x · 7 x −14 · 7 2 · x · 7 −1 = 0,
5 · 5 2 · x −3 · 5 x · 7 x −2 · 7 2 · x = 0.

Em seguida, as duas partes da igualdade são divididas pela expressão 7 2 · x, que na ODZ da variável x para a equação original leva apenas valores positivos (esta é uma técnica padrão para resolver equações desse tipo, não estamos falando sobre isso, então focar transformações subseqüentes de expressões com graus ):

Agora as frações com graus são reduzidas, o que dá.

Finalmente, a proporção de graus com os mesmos expoentes é substituída pelos graus de relações, o que leva a uma equação equivalente. As transformações feitas nos permitem introduzir uma nova variável, que reduz a solução da equação exponencial original para a solução da equação quadrática 5 · t 2 −3 · t - 2 = 0.

Como você pode ver, a transformação de expressões de poder com variáveis ​​em expoentes é realizada de acordo com os princípios discutidos nos parágrafos anteriores.

Converter expressões com graus e logaritmos

Introdução à vida cotidiana do logaritmo leva ao aparecimento de expressões contendo graus e logaritmos em suas entradas. Para maior clareza, damos várias dessas expressões:. Для их преобразования могут применяться все выше разобранные подходы. Но здесь еще непременно понадобятся свойства логарифмов. Преобразованием подобных выражений мы займемся в статье преобразование логарифмических выражений.

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